UNIDAD # 4

UNIDAD 4

💚DEFINICIÓN DE DOMINIO Y RANGO DE UNA ECUACIÓN💚

El dominio y el rango de una función están normalmente limitados por la naturaleza de la relación. Por ejemplo, considera la función de tiempo y altura que ocurre cuando lanzas una pelota al aire y luego la atrapas. El tiempo es la entrada, la altura es la salida. El dominio es cada valor de tiempo durante el lanzamiento, e inicia desde el instante en que la pelota abandona tu mano hasta el instante que la pelota regresa a ella. Digamos que la pelota estuvo en el aire durante 10 segundos — en ese caso, el dominio es 0-10 segundos. Ya que el tiempo transcurre continuamente durante este intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.

El rango es la altura de la pelota mientras está en el aire, e incluye todas las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el punto más alto alcanzado antes que ésta empezara a caer. Si tu mando estaba a 3 pies del suelo cuando aventaste y atrapaste la pelota, y la distancia más alta que alcanzó fue de 12 pies también con respecto al suelo, entonces el rango es de 3-12 pies. Ya que la altura cambia constantemente durante este intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.

🌟DOMINIO:

Sea f una función f : X→Y. El conjunto X para el cual se encuentra definida, constituye el dominio de la función. Este conjunto se representa simbólicamente por dom f. Esto quiere decir que el dominio de una ecuación son todos los valores reales que la variable x puede tomar y la gráfica queda bien definida, es decir que no tiene hoyos o rupturas.

Se pueden expresar esos valores del dominio con notación de conjuntos ó intervalos según sea lo más conveniente.

•   Si f ( x) contiene un cociente, este no existe si el denominador se hace cero, por lo que se deben excluir del dominio aquellos valores de x que provocan esta situación.

• Si f ( x) contiene una raíz de índice par, esta existirá sólo si el radicando es positivo o cero.

 

🌟RANGO:

Sea f una función f : X→Y, el conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio, constituye el rango de la función. Este conjunto se representa simbólicamente por rg f. Esto quiere decir que el rango son los valores que toma la función "y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "x".

La manera más efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de abajo hacia arriba. O sea son los valores que tiene la variable “y” para determinados valores de x, en esa función (los valores que realmente salen).

👉Ejemplo de dominio y rango:

 

 

Para esta gráfica, el dominio es {-2, 0, 2, 4}. Y el rango es {0, 6, 12, 18}

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🌸FUNCIONES LINEALES🌸

La función lineal es aquella expresión algebraica que se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

📌m = pendiente de la recta (constante).

📌b = punto de corte de la recta con el eje y (constante).

📌x = variable.

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen, (0,0). El número a (coeficiente de la x) se llama pendiente, y nos indica la inclinación de la recta

         

Para graficar una recta, es suficiente obtener dos puntos de ella y trazar el segmento ilimitado que los contenga. Se sugiere que estos dos puntos sean las intersecciones con los ejes coordenados, es decir, encontrar el valor de y cuando x= 0; y, encontrar el valor de x cuando 

y = 0.

👉Ejemplo:

f (x): 3x

Para realizar esta operación debemos darles valores a x tantos negativos como positivos para obtener pares ordenados:

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💜FUNCIONES CUADRÁTICAS💜

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax 2 + bx + c donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero. En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. Así:

📌ax 2 = es el término cuadrático

📌bx = es el término lineal

📌c = es el término independiente

Su gráfica siempre va hacer una curva llamada parábola.
Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.

Estas características o elementos son:

🔎Orientación o concavidad (ramas o brazos)

🔎Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)    

🔎Punto de corte con el eje de ordenadas  

🔎 Eje de simetría
🔎Vértice

🌀Orientación o concavidad:

 Se habla de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus brazos o ramas se orientan hacia abajo. Está distinta orientación se define por el valor que tenga el término cuadrático ax². Además, cuanto mayor sea a (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

👉Ejemplos:

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba.

 

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo.

 

🌀Puntos de corte en el eje de las abscisas (eje de las X):

Son los puntos en donde corta la gráfica, pero en el eje de las” x” es decir abscisas.

🌀Puntos de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y):

Así mismo, son los puntos en donde la gráfica corta, pero en este caso tiene que ser en eje de las ordenada “y”.

🌀Eje de simetría o simetría:

Es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.

  

🌀Vértice:

El vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas.

La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría (-(b/2a) y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, (-(b^2-4ac/4a)) según sea la orientación de la parábola.

👉Ejemplo de una función cuadrática:

f (x): 2x² - 4x -6

Para realizar la operación debemos primero sacar los valores de a, b y c. Luego sacar los valores del vértice por medio de las fórmulas para luego darle valores a x en la tabla para obtener lo pares ordenada y poner gráficar.

a = 2 

b=-4                                 

c = -6

 

V= (1; -8)

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