UNIDAD # 3
Una ecuación es un enunciado que establece que dos
expresiones matemáticas tienen el mismo valor. Existen dos tipos de ecuaciones:
absolutas y condicionales.
💙Identidad o igualdad
absoluta:
Es una igualdad algebraica es un enunciado que compara
dos expresiones matemáticas con el símbolo “=” y es verdadero para todos los
valores de las variables del conjunto referencial que corresponda.
👉Ejemplo:
(x
+ y) ² = x² + 2xy + y²
💜Ecuación o igualdad condicional:
Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones que
es verdadera sólo para algún o algunos valores de las variables del conjunto
referencial que corresponda.
👉Ejemplo:
x−3
= 12, es una igualdad siempre y cuando x = 15
x
-3 = 12
x
= 12 +3
x = 15
🌸Elementos que componen a
una ecuación:
📌Miembros: Son las expresiones que aparecen a
cada lado del signo igual (=).
📌Términos: Son
los monomios de cada miembro.
📌Incógnitas: Son
las letras que aparecen en la ecuación.
📌Solución: Son los valores que
deben tener las incógnitas para que la igualdad entre los miembros sea cierta.
📌Grado de la ecuación: es
el mayor exponente con que figura la incógnita (una vez realizadas todas las
operaciones)
🔮Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal o de
primer grado, corresponde al tipo más simple de ecuación, pudiendo ser reducida
a un predicado de la forma: p(x): ax + b
= 0, con a ≠ 0. Donde x es la
incógnita cuyo valor hay que determinar.
👉Ejemplo:
6x – 7 = 2x + 5 Consideramos la expresión
original
6x – 2x = 5 + 7 Pasamos
al primer miembro las incógnitas (x) cambiando el signo.
4x = 12 Reducimos términos
x =12/4 Despejamos
la x
x = 3 Solución
🔮Ecuaciones cuadráticas
Una
ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que puede representarse con
un predicado de la forma: p(x): ax² + bx
+ c = 0, con a ≠ 0.
💥Método para resolver
ecuaciones cuadráticas
Para
resolver una inecuación de la forma: ax²
+ bx + c = 0, y hay que seguir los siguientes pasos:
1. Escribir la ecuación en la forma
general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que la inecuación
quede de la forma ax² + bx + c = 0.
2. Luego hay que aplicar factorización o
la fórmula general.
3. Después obtenemos los valores de las
incógnitas, igualándolas a cero.
4. Solución.
A
la expresión de la formula general b²- 4ac que aparece dentro de la raíz
cuadrada de la
fórmula anterior se le
llama discriminante de la
ecuación. Teniendo en cuenta que
para resolver la ecuación es
necesario calcular la raíz
cuadrada del discriminante se tienen los siguientes casos:
💙Si b² - 4ac > 0 entonces la ecuación tiene dos soluciones distintas.
💙Si b² - 4ac > 0 entonces la ecuación tiene dos soluciones distintas.
💙Si 2 – 4 ac = 0
entonces la ecuación tiene una única solución que es doble o de multiplicidad 2
(se puede considerar que la ecuación tiene dos soluciones iguales.
💙Si b² - 4ac <
0 entonces la ecuación no tiene solución.
👉Ejemplo 1:
x² + 5x – 6 = 0
(x + 6) (x-1) = 0
x + 6 = 0
v x – 1 = 0
x
= -6 v x = 1
👉Ejemplo 2:
x² + 5x + 6 = 0
a = 1 Fórmula
General
b = 5
c = 6
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🌻INECUACIONES🌻
🎈Desigualdad:
Una desigualdad es un enunciado que
compara dos expresiones matemáticas. Dichas expresiones están separadas por
alguno de los siguientes símbolos: >,
<, ≤ , ≥.
👉Ejemplos:
10 > 12
8 < 6
-5 ≤ -1
9 ≥ 6
🎈Inecuación:
Una inecuación es un predicado que incluye
una desigualdad condicionada, y resolverla significa encontrar todos los
valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una
proposición verdadera.
La resolución de las inecuaciones es muy
parecida a la resolución de las ecuaciones.
👉Ejemplo:
5x + 6 < 3x – 8
Consideramos la expresión original
5x
- 3x < -8 – 6 Pasamos al primer
miembro las incógnitas (x) cambiando el signo.
2x
< -14 Reducimos
términos
x < -14/2 Despejamos la
x
x > -7 Solución
Todos los valores
de x mayores que -7 satisfacen la inecuación.
Es muy importante tener en cuenta que si multiplicamos
por un numero negativo una inecuación tenemos que cambiar el signo de la
desigualdad.
3x > -2
x < 2/3
🍀Inecuaciones Lineales
Una inecuación lineal o de primer grado, es
aquella que puede representarse con un predicado definido en el conjunto de los
reales, mediante una de las siguientes formas:
1. p(x): ax + b > 0.
2. p(x): ax + b < 0.
3. p(x): ax + b ≥ 0.
4. p(x): ax + b ≤ 0.
Donde x es la incógnita cuyo valor hay que
determinar.
👉Ejemplo:
7x + 17
< 5x + 8
7x
- 5x < -9 + 17
2x <
8
x < 8/2
x
> 4
🍀Inecuaciones
Cuadráticas
Una inecuación cuadrática
es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los
números reales, mediante una de las siguientes formas:
1. p(x): ax² + b > 0.
2. p(x): ax² + b < 0.
3. p(x): ax² + b ≥ 0.
4. p(x): ax² + b ≤ 0.
Donde x es la incógnita
cuyo valor hay que determinar.
🍧Método
para resolver inecuaciones cuadráticas
Para resolver una
inecuación de la forma: ax² + bx + c < 0, y hay que seguir los siguientes
pasos:
1. Escribir
la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones
necesarias
para que la inecuación quede de la forma ax² + bx + c < 0.
2. Luego
hay que aplicar factorización o la fórmula general. Para el efecto, debemo
ecordar las siguientes reglas:
- Un producto de dos factores es positivo si ambos factores poseen signos iguales.
- Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signos diferentes.
3. Hallar
los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada
factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la
recta numérica.
4. Seleccionar
un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada
intervalo.
5. La
solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea
cierta.
La solución se puede expresar de distintas formas:
Como
intervalo
Como conjunto
👉Ejemplo
1
x² − 6x + 8 > 0
a = 1 b = 6 c = 8
😎Vídeo de ayuda..!
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