UNIDAD # 1

馃構BIENVENIDOS馃構


L脫GICA MATEM脕TICA
La l贸gica matem谩tica tambi茅n llamada l贸gica simb贸lica, l贸gica teor茅tica, l贸gica formal, o log铆stica, es aquella que estudia m茅todos de razonamiento en un nivel elemental, la l贸gica proporciona reglas y t茅cnicas para determinar si es o no valido un argumento. El razonamiento l贸gico se emplea en matem谩ticas para demostrar teoremas utilizando un lenguaje simb贸lico artificial y realizando una abstracci贸n de los contenidos. En la l贸gica matem谩tica nada puede darse por supuesto, y las definiciones de diccionario no son normalmente suficientes.
Sin embargo, en l贸gica simb贸lica una oraci贸n tiene un signi铿乧ado mucho m谩s espec铆铿乧o y se llama proposici贸n.

馃尀PROPOSICIONES馃尀
Son expresiones a las que se les puede asignar un cierto valor ya sean verdaderas o falsas pero que no pueda ser ambas a la vez. La proposici贸n es un elemento fundamental de la l贸gica matem谩tica.
Las proposiciones se representan simb贸licamente mediante el uso de letras min煤sculas del alfabeto tales como p, q, r, s, ..., x, y, z, las cuales reciben el nombre de letras o
variables proposicionales, de esta forma, el lenguaje proposicional se hace m谩s simple y
exacto que el lenguaje natural.
馃憠Ejemplos:
•         q: 1 no es un n煤mero entero.
•         r: 4 + 6 = 10.
•         s: El 6 es un numero primo


馃専Clases de proposici贸n
Las proposiciones se pueden dividir en dos tipos b谩sicos:

1.       馃寛Proposici贸n simple.
Son aquellas que carecen de conectivos (y, o, si, entonces, si  y solo si) o del adverbio de negaci贸n.
馃憠Ejemplos: 
•         p:  2+3=11
•         r: El cielo es azul


Es te tipo de proposiciones se divide en:

馃挌Predicativas
Son aquellas que contienen sujeto y predicado.
馃憠Ejemplo:
•         p: 2 es un numero par.


馃挌Relacionales
Son aquellas que constan de dos o m谩s sujetos vinculados entre s铆.
Ejemplo:
•         q: 5 es mayor que 3

2馃寛.         Proposici贸n compuesta.
Es aquella que tiene conectivos de enlace o de adverbio negativo "no". 
馃憠Ejemplos:
•         p: 3 es n煤mero primo si y solo si tiene 2 divisores.
•         q: La patineta es morada o roja. (en esta oraci贸n se puede comprobar si la patineta es de un color u otro estando dividida entre morada y roja y de 茅stos se desprende la verdad)


馃挃Oraciones que no son proposiciones
Generalmente las oraciones que no son proposiciones son las oraciones imperativas, interrogativas y exclamativas.
馃憠Ejemplo:
•         “¡Auxilio!”
•         “¡Mu茅vete!”

Una proposici贸n debe tener la cualidad de ser verdadera o falsa esto quiere decir que una oraci贸n o concepto que no tiene uno u otro sentido no puede ser considerado como proposici贸n l贸gica; es as铆 que la l贸gica proporcional en su concepto previo solo puede tener tres elementos: 
馃搶Proposici贸n
馃搶Valor verdadero (V 贸 1)
馃搶Valor falso          (F 贸 0)

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馃尲OPERADORES L脫GICOS馃尲
Se denomina conectivos o conectores l贸gicos a aquellas expresiones gramaticales tales como: “y”, “o”, “s铆…entonces…”, “si y s贸lo si”, los cuales se usan para enlazar las proposiciones.
Los operadores b谩sicos son:


馃攷Negaci贸n (s铆mbolo: ~)
Este conector se presenta con los t茅rminos gramaticales: “no”, “ni”, “no es verdad que”, “no es cierto que”.

Condici贸n o regla: Este operador l贸gico cambia o invierte el valor de verdad de una proposici贸n: si a es una proposici贸n verdadera, ¬a es falsa; si a es una proposici贸n falsa, ¬a es verdadera.
 


馃憠Ejemplo:
Si se tiene la proposici贸n:
     a: Tengo un billete de diez d贸lares.
La negaci贸n de a es:
     ¬a: No tengo un billete de diez d贸lares.

馃攷Conjunci贸n (s铆mbolo: ^)
Este conector se presenta con los t茅rminos gramaticales: “y”, “pero”, “mas”.
Condici贸n o regla: En este conector la proposici贸n resultante ser谩 verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero.


馃憠Ejemplo:
Si se tienen las proposiciones:
         a: Obtengo buenas notas.
         b: Gano una beca.
La conjunci贸n entre a y b es:
          a ∧ b: Obtengo buenas notas y gano una beca. 

馃攷Disyunci贸n inclusiva (s铆mbolo:  v)
La disyunci贸n se presenta con el t茅rmino gramatical “o”.
Condici贸n o regla: La proposici贸n resultante ser谩 falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso.


馃憠Ejemplo:
Si se tienen las proposiciones:
       a: Tengo un libro de Trigonometr铆a.
       b: Tengo un libro de 脕lgebra.
La disyunci贸n entre a y b es:
      a v b: Tengo un libro de Trigonometr铆a o uno de 脕lgebra

馃攷Disyunci贸n exclusiva (s铆mbolo ⊻)
La disyunci贸n exclusiva se presenta con el t茅rmino gramatical “o”, “o s贸lo”, “o solamente”.
Condici贸n o regla: La proposici贸n resultante ser谩 verdadera cuando solamente una de ellas sea verdadera y la otra falsa.


馃憠Ejemplo:  
Si se tienen las proposiciones:
              a: Estoy en Quito.
              b: Estoy en Guayaquil.
La disyunci贸n exclusiva entre a y b es:
             a ⊻ b: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil. 

馃攷Condicional (s铆mbolo: →)
Este conector se puede representar con los siguientes t茅rminos gramaticales: “si entonces”, “s贸lo si”, “solamente si”, “ si ”, “de   que ”, “ cuando ”,  siempre que”, “ cada vez que ”, “ ya que ”, “ debido a que ”, “ puesto que ”, “ porque ”,  “s贸lo si  ”, “ pues”, “cuando”, “ implica ”, o cualquier expresi贸n que denote causa y efecto.
Condici贸n o regla: La proposici贸n resultante ser谩 falsa solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor de verdad del consecuente sea falso.

馃憠Ejemplo:
Si se tienen las proposiciones:
                a: Juan gana el concurso.
                b: Juan dona $ 10 000.
La condicional entre a y b es:
                  a → b: Si Juan gana el concurso, dona $ 10 000.
Parafraseando la condicional, tenemos:
•         Juan gana el concurso s贸lo si dona$ 10 000.
•         Juan dona $ 10 000 si gana el concurso.
•         Si Juan gana el concurso, entonces dona $ 10 000.
•         Juan dona $ 10 000 puesto que gana el concurso.
Existen otras proposiciones relacionadas con la condicional a → b, las cuales se denominan: rec铆proca, inversa y contrarec铆proca (o contrapositiva).

    馃敯Rec铆proca, se representada simb贸licamente por: b → a.
Este conector invierte o cambia el orden de las proposiciones.
Ejemplo:
Se tiene la proposici贸n: 
               a: Si es un autom贸vil, entonces es un medio de transporte.
La rec铆proca es:
               b: Si es un medio de transporte, entonces es un autom贸vil. 

馃敯Inversa, se representada simb贸licamente por: ¬a → ¬ b
En cambio, este conector niega las proposiciones.
馃憠Ejemplo:
Se tiene la proposici贸n:
                a: Si es un tel茅fono, entonces es un medio de comunicaci贸n.
La inversa es:
                b: si no es un tel茅fono, entonces no es un medio de comunicaci贸n.

馃敯Contrarec铆proca, se representada simb贸licamente por: ¬ b → ¬a.
Este conector niega y cambia el orden de las proposiciones, es decir, es rec铆proca e inversa.
馃憠Ejemplo:
Se tiene la proposici贸n:
                    a: Si es un avi贸n, entonces es un medio de transporte a茅reo.
La contrarec铆proca es:
                    b: Si no es un medio de transporte a茅reo, entonces no es un avi贸n. 

馃攷Bicondicional (s铆mbolo: ↔)
Este conector se representa con los siguientes t茅rminos gramaticales: “si y s贸lo si”, “si y solamente si”, “cuando y s贸lo cuando”.
Condici贸n o regla: La proposici贸n ser谩 verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean iguales, es decir, si son ambas verdaderas o falsas.


馃憠Ejemplo:
Dadas las proposiciones:
                      a: Un tri谩ngulo es equil谩tero.
                      b: Un tri谩ngulo es equi谩ngulo.
La bicondicional entre a y b es:
                     a ↔ b: Un tri谩ngulo es equil谩tero si y s贸lo si es equi谩ngulo.

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馃崉FORMAS PROPOSICIONALES馃崉
Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por variables proposicionales y los operadores l贸gicos que las relacionan.
Para armar una forma proposicional es muy importante reconocer sus conectores l贸gicos.
馃憠Tipos de forma proposicional
Existen 3 tipos de formas proposicionales:

馃挍TAUTOLOG脥A馃挍
Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado verdadero (1).
馃憠Ejemplo:
p: Voy al cine
q: Compr贸 palomitas
p→ (q→p)
“Si voy al cine entonces compro palomitas solo si voy al cine”.


馃挋CONTRADICCI脫N馃挋
Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso (0).
馃憠Ejemplo:
a: voy al cine.
b: Compro palomitas.
(¬a^b) ^a
“No voy al cine y compro palomitas y voy al cine”



馃挏CONTINGENCIA馃挏
Es aquella forma proposicional que siempre es verdadera y falsa a la vez (0, 1).
馃憠Ejemplo:
a: Voy al cine.
B: Compro palomitas.
(a → b) ^ (b → a)
“Si voy al cine entonces compro palomitas y si compro palomitas, voy al cine”

馃槉Video de ayuda..!



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